Roman urodził się 4 kwietnia 2004 w Wielkiej Brytanii. Jego dziadkowie pochodzą z Polski – z Krakowa i Poznania i przenieśli się do Wielkiej Brytanii w trakcie II Wojny Światowej i poznali się w Londynie. 30 lat później pojawił się ojciec Bilińskiego. Później przeniósł się on do Polski, do Poznania i pracował w sportowej sekcji BBC, zajmując się m.in. motorsportem.
Roman na Wyspach startował w kartingu, rzadko wychodząc poza szczebel krajowy. W 2017 roku wygrał Rissington Honda Cadet Championship, otrzymał też trofeum Nigela Mansell dla ‘Most Promising Award’.
W 2018 i 2019 roku Biliński pojechał w Ginetta Junior Winter Champioship oraz Micheli Ginetta Junior Championship. W 2020 roku przeniósł się do brytyjskiej Formuły 4. Tam zaliczył 3 podia i 1 najszybsze okrążenie.
Roman jeździ z brytyjską licencją, ale pod polską flagą. Mieszkając tak długo w Wielkiej Brytanii, Roman długo np. umieszczał posty w social mediach tylko po angielsku. Od niedawna pojawiają się również w języku polskim, co jest bardzo ważne, bo zdecydowanie łatwiej jednemu z najlepszych polskich kierowców single seaterów zdobyć rozgłos i popularność w kraju, który zawodników wyścigowych na tym szczeblu ma kilku a nie kilkuset.
Sezon 2021 nie zaczął się po myśli Polaka i notował na słabe wyniki w Brytyjskiej F4. Postanowił przenieść się do GP3 Championship i był to strzał w dziesiątkę. Biliński wygrał kilka wyścigów i mimo opuszczenia znacznej części sezonu, zajął tam wysokie miejsce.
Do końca 2021 roku Biliński miał 74 przejechane wyścigi, a w nich 3 zwycięstwa i 12 podiów. Raz startował z pole position, wykręcił 2 najszybsze okrążenia wyścigu.
